【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和⊙C,給出如下定義:若存在過點P的直線l交⊙C于異于點PA,B兩點,在P,A,B三點中,位于中間的點恰為以另外兩點為端點的線段的中點時,則稱點P為⊙C 的相鄰點,直線l為⊙C關(guān)于點P的相鄰線.

1)當(dāng)⊙O的半徑為1時,

①分別判斷在點D, ),E0,),F40)中,是⊙O的相鄰點有 

②請從①中的答案中,任選一個相鄰點,在圖1中做出⊙O關(guān)于它的一條相鄰線,并說明你的作圖過程;

③點P與點O的距離d滿足范圍___________________時,點P是⊙O的相鄰點;

④點P在直線y=﹣x+3上,若點P為⊙O的相鄰點,求點P橫坐標(biāo)x的取值范圍;

2C的圓心在x軸上,半徑為1,直線y=x+2x軸,y軸分別交于點M,N,若線段MN上存在⊙C的相鄰點P,直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍.

【答案】(1)①D、E ② 證明見解析;③ 0≤d≤3且d≠1 ④0≤x≤3;(2) 0≤x≤9

【解析】試題分析:(1)由相鄰點的定義可知:在圓C內(nèi)的點必為相鄰點,在圓C外的點必須滿足,2AB2=PC2-1,其中APB的中點,且AB≤2,所以若半徑為1的圓C有相鄰點P,則PC的長必須滿足0≤PC≤3PC≠1,分別求出D、E、F到⊙O的距離即可判斷.求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為(0,3)和(3,0),根據(jù)(1)問中結(jié)論可知,P的橫坐標(biāo)的取值范圍是:0≤x≤3;

(2)根據(jù)(1)問中可知:0≤PC≤3PC≠1,又因為點P在線段MN上移動,所以點C在以點P為圓心,半徑為3的圓內(nèi),且不能在以點P為圓心,半徑為1的圓上,再根據(jù)點Cx軸上,即可得出C的橫坐標(biāo)取值范圍.

試題解析:(1)由定義可知,

當(dāng)點P在⊙C內(nèi)時,

由垂徑定理可知,點P必為⊙C的相鄰點,

此時,0≤PC<1;

當(dāng)點P在⊙C外時,設(shè)點APB的中點,連接PC交⊙C于點M,延長PC交⊙C于點N,連接AM,BN,

∵∠AMP+NMA=180°,

B+NMA=180°

∴∠AMP=B,

∵∠P=P,

∴△AMP∽△NBP,

,

PAPB=PMPN,

∵點APB的中點,

AB=PA,

又∵⊙C的半徑為1,

2AB2=(PC-CM)(PC+CN),

2AB2=PC2-1,

又∵AB是⊙C的弦,

AB2,

2AB2≤8,

PC2-1≤8,

PC2≤9,

PC3,

∵點P在⊙C外,

PC>1,

1<PC≤3,

當(dāng)點P在⊙C上時,

此時PC=1,但不符合題意,

綜上所述,半徑為1的⊙C,當(dāng)點P與圓心C的距離滿足:0≤PC≤3,且PC≠1時,點P為⊙C的相鄰點;

①∵D(, ),

DO=

E(0,-),

OE=

F(4,0),

OF=4,

DE是⊙O的相鄰點;

②連接OD,過點DOD的垂線交⊙OA、B兩點;

③令x=0代入y=-x+3,

y=3,

y=0代入y=-x+3,

x=3,

y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點為(0,3)和(3,0)

∵由于點P在直線y=-x+3上,且點P是⊙O的相鄰點,

0PO3,且PO≠1

又∵點P在⊙O外,

1<PO≤3,

p的橫坐標(biāo)范圍為:0≤x≤3;

(2)令x=0代入y=-x+2

y=2,

N(0,2),

y=0代入y=-x+2

x=6,

M(6,0),

∵點P是半徑為1的⊙C的相鄰點,

0PC3PC≠1,

∴點C在以點P為圓心,半徑為3的圓內(nèi),且不能在以點P為圓心,半徑為1的圓上,

∵點Cx軸上,

∴點C的橫坐標(biāo)范圍的取值范圍:0≤x≤9.

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