Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，AO＝5，OD＝AD，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，n）．

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）P是y軸上一點(diǎn)，且△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y，y＝x+2；（2）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）時(shí)，△AOP是等腰三角形．

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出OD＝3，AD＝4，得出點(diǎn)A（3，4），進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線AB解析式；

（2）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的兩邊相等分三種情況建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）∵AD⊥x軸，∴∠ADO＝90°．

在Rt△AOD中，AO＝5，ODAD，∴AD＝4，OD＝3，∴A（3，4），∴k＝3×4＝12，∴y．

又點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，∴n2，∴B（﹣6，﹣2）．

∵點(diǎn)A（3，4），B（﹣6，﹣2）在直線AB上，∴，∴，∴AB直線的表達(dá)式為yx+2；

（2）設(shè)點(diǎn)P（0，m）．

∵A（3，4），O（0，0），∴OA＝5，OP＝|m|，AP．

∵△AOP是等腰三角形，∴分三種情況討論：

①當(dāng)OA＝OP時(shí)，∴|m|＝5，∴m＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5）；

②當(dāng)OA＝AP時(shí)，∴5，∴m＝0（舍）或m＝8，∴P（0，8）；

③OP＝AP時(shí)，∴|m|，∴m，∴P（0，）．

綜上所述：當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）時(shí)，△AOP是等腰三角形．