Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有二次函數(shù)，頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），易證點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：對稱，且A在直線l上．過點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，則HN+NM+MK的最小值為   

Answer 1

【答案】分析：設(shè)=0，則可求出拋物線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即A和B的坐標(biāo)，再把拋物線解析式配方可求出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)而求出過A和H點(diǎn)的直線解析式，
因?yàn)檫^點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，所以直線BK的斜率和直線AH的相等，又過B，所以可求出直線BK的解析式，再把直線l的解析式和BK的解析式聯(lián)立，即可求出K的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對稱，得出HN+MN的最小值是MB，過點(diǎn)K作直線AH的對稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．
解答：解：設(shè)=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∵=-（x+1）²+2，
∴頂點(diǎn)H的坐標(biāo)是（-1，2），
設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b，把A和H點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出k=，b=3，
∵過點(diǎn)B作直線BK∥AH，
∴直線BK的解析式為y=mx+n中的m=，
又因?yàn)锽在直線BK上，代入求出n=-，
∴直線BK的解析式為：y=x-，
聯(lián)立解得：，
∴交點(diǎn)K的坐標(biāo)是（3，2），
則BK=4，
∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對稱，K（3，2），
∴HN+MN的最小值是MMB，KD=KE=2，
過K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，KD=KE=2，
則QM=MK，QE=EK=2，AE⊥QK，
∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB==8，
∴HN+NM+MK的最小值為8．
答：HN+NM+MK和的最小值是8．
故答案為：8．
點(diǎn)評：本題主要考查對勾股定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．