Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸于H，交拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí)（與點(diǎn)M重合）

①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②求線段OD的長(zhǎng)；

③試探究在直線l上，是否存在點(diǎn)G，使∠EDG=45°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接CM，若△COD∽△CFM，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）①（4，3）；②1；

③存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，6）或（4，﹣）．理由見(jiàn)解析；（3）或．

【解析】分析：（1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值即可；（2）①由題意可知CF∥x軸，則點(diǎn)F縱坐標(biāo)為3，將y=3代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)；②先證明Rt△OCD≌Rt△HDE，從而得到CO=DH=3，然后由OH=4，可得到OD=1；③將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，則N（3，4）且四邊形CDEN為正方形，然后可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，接下來(lái)求得DG的解析式，然后可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，由DG⊥DG′以及點(diǎn)D的坐標(biāo)可求得DG′的解析式，然后可求得點(diǎn)G′的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)（a+3，﹣ a2﹣a+），然后可求得FM的長(zhǎng)，然后由△COD∽△CFM，可得到，最后依據(jù)上述比例關(guān)系列出關(guān)于a的方程求解即可．

本題解析;

（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=3，∴C（0，3）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣．

∴拋物線的解析式為y=．

（2）①∵CF⊥l，OB⊥l，

∴CF∥x軸．

∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3．

將y=3代入拋物線的解析式得：﹣x2+x+3=3，解得x=0或x=4．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，3）．

②∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，3），

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，0）．

∵∠CDE=90°，

∴∠CDO+∠EDH=90°．

∵∠OCD+∠CDO=90°，

∴∠OCD=∠EDH．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CD=DE．

在Rt△OCD和Rt△HDE中， ，

∴Rt△OCD≌Rt△HDE．

∴CO=DH=3．

又∵OH=4，

∴OD=1．

③如圖1所示：將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，則N（3，4）且四邊形CDEN為正方形．

∵四邊形CDEN為正方形，

∴∠GDE=45°．

設(shè)DN的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)D和點(diǎn)N的坐標(biāo)代入得： ，解得：k=2，b=﹣2．

∴DN的解析式為y=2x﹣2．

把x=4代入得：y=6，

∴G（4，6）．

設(shè)直線DG′的解析式為y=﹣x+c，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：﹣ +c=0，解得：c=．

∴直線DG′的解析式為y=﹣x+．

將x=4代入得：y=﹣．

∴點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（4，﹣）．

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，6）或（4，﹣）．

（3）如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)（a+3，﹣ a2﹣a+）．

∴FM=﹣a2﹣a+．

∵△COD∽△CFM，

∴，即，

整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a=或a=﹣3（舍去）．

∴OD=．

如圖3所示：

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)（a+3，﹣ a2﹣a+）．

∴FM=a2+a﹣．

∵△COD∽△CFM，

∴， ，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a=．

∴OD=．

綜上所述，OD的長(zhǎng)為或.