Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B （-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點N，問在對稱軸上是否存在點P，使△CNP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖②，若點E為第三象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）點A（1，0）和點B （-3，0），由待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值而求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式就可以求出C點的坐標(biāo)，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP₁=NP₁時，
作P₁H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P₁N的值，從而求出P1的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出點E的坐標(biāo)，連接BE、CE，作EG⊥OB于點G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四邊形BOCE的面積，然后化為頂點式就可以求出其面積的最大值．
解答：解：（1）如圖①，
∵y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B （-3，0），
∴，
解得，
∴y=x²+2x-3．

（2）∵y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4，
∴N（-1，0），
∴ON=1．
∴當(dāng)x=0時，y=-3，
∴C（0，-3）
∴OC=3．
∴在Rt△CON中由勾股定理，得
CN=
當(dāng)P₁N=P₁C時，△P₁NC是等腰三角形，作P₁H⊥CN，
∴NH=，△P₁HN∽△NOC，
∴，
∴，
∴NP₁=，
∴P₁（-1，）
當(dāng)P₄N=CN時，P₄N=，
∴P₄（-1，），
當(dāng)P₂N=CN時，P₂N=，
∴P₂（-1，-），
當(dāng)P₃C=CN時，P₃N=6，
∴P₃（-1，-6）
∴P點的坐標(biāo)為：（-1，）、（-1，-）、（-1，-6）和（-1，-）；                    

（3）設(shè)E（x，x²+2x-3 ），連接BE、CE，作EG⊥OB于點G，
∴GO=-x，BG=x+3，GE=-x²-2x+3，
∴S=+
S=-（x+）²+
∴x=-，S=，
∴E（-，-）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用，二次函數(shù)的最值及四邊形的面積的計算．