Question

如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D．

（1）求證：△ADP∽△BDA；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長．

Answer 1

1）證明見解析；（2） PA+PB=PC，證明見解析；（3）．

【解析】（1）作⊙O的直徑AE，連接PE，∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，

∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，

證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，∴AP²=CP•PD，∴AP²=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．