Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)）．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，求證：MF=NE．
（2）若點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)，其他條件不變時(shí)，請你在圖②中作出相應(yīng)的圖形（不寫作法），MF與NE相等的結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．
（3）請你利用（2）中所作出的圖形來判斷點(diǎn)F是否在直線NE上？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DE，DF，EF．根據(jù)三角形的中位線定理得到等邊三角形DEF，再根據(jù)SAS證明△DMF≌△DNE，從而得到結(jié)論；
（2）類似（1）中的證明思路，顯然結(jié)論仍然成立；
（3）連接DF，NF，EF．根據(jù)SAS證明△DBM≌△DFN，從而得到∠DFN=∠DBM=120°，再根據(jù)平角定義即可證明．

解答：（1）證明：連接DE，DF，EF．（1分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵DE，DF，EF為三角形的中位線．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．（3分）
又∵DM=DN，
∴△DMF≌△DNE．（4分）
∴MF=NE．（5分）

（2）畫出圖形（如答圖）．（7分）
MF與NE相等的結(jié)論仍然成立．（8分）

（3）點(diǎn)F在直線NE上．（9分）
連接DF，NF，EF．
由（1），知DF=

1

2

AC=

1

2

AB=DB．
又∠BDM+∠BDN=60°，∠NDF+∠BDN=60°，
∴∠BDM=∠NDF，
又∵DM=DN，
∴△DBM≌△DFN．（10分）
∴∠DFN=∠DBM=120°．
又∵∠DFE=60°．
∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°．（11分）
可得點(diǎn)F在NE上．（12分）

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)．全等是證明線段相等的常用方法，證明三點(diǎn)共線的方法是利用平角定義．