Question

（2012•道里區(qū)一模）如圖，△ABC，A（

25

6

，0），B（3，4），將△ABO沿著直線(xiàn)OB翻折，點(diǎn)A落在第二象限內(nèi)的點(diǎn)C處
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)以5個(gè)單位，秒的速度沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接AP，將射線(xiàn)AP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與y軸交于一點(diǎn)Q，且旋轉(zhuǎn)角α=

1

2

∠OAB．設(shè)線(xiàn)段0Q的長(zhǎng)為d，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求d與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫(xiě)出時(shí)間t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接CP，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此時(shí)t的值，并判斷點(diǎn)B與以點(diǎn)P為圓心，0Q長(zhǎng)為半徑的⊙P的位置關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)C（x，y）．利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．需要分類(lèi)討論：當(dāng)0≤t＜

1

2

與

1

2

≤t≤1時(shí)，兩種情況下的d與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫(xiě)出時(shí)間t的取值范圍）；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB于點(diǎn)K．假設(shè)存在CP∥AQ，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PE=PK；然后根據(jù)線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系可以求得此時(shí)的t的值；
欲判斷點(diǎn)B與以點(diǎn)P為圓心，0Q長(zhǎng)為半徑的⊙P的位置關(guān)系，只需證明點(diǎn)B與圓心P的距離是否等于⊙P的半徑即可．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，AB=

(3- 25 6 )2+42

=

25

6

；
又∵將△ABO沿著直線(xiàn)OB翻折，點(diǎn)A落在第二象限內(nèi)的點(diǎn)C處，
∴OA=OC，AB=CB；
∴

x2+y2= 625 36 (x-3)2+(y-4)2= 625 36

，
解得

x=- 7 6 y=4

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-

7

6

，4）；

（2）如圖1，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，OG=3，BG=4，
∴AG=

7

6

，
∴AC=

20

3

（勾股定理）；
∴AE=

10

3

；
同理，OE=

5

2

；
①當(dāng)0≤t＜

1

2

時(shí)，
∵OP=5t，
∴PE=

5

2

-5t，
∴

5 2 -5t

d

=

10 3

25 6

，
∴d=-

25

4

t+

25

8

；
②當(dāng)

1

2

≤t≤1時(shí)，同理：d=

25

4

t-

25

8

；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB于點(diǎn)K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=

1

2

∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF=

OF

OB

=

PK

PB

=

4

5

；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=

5

2

-5t，PB=5-5t，
∴

5t- 5 2

5-5t

=

4

5

，
解得，t=

13

18

，
∴存在CP∥AQ，此時(shí)t=

13

18

；
∵

1

2

＜

13

18

≤1，
∴t=

13

18

時(shí)，OQ=d=

25

4

t-

25

8

=

25

18

，BP=OB-OP=5-5t=5-

13

18

×5=

25

18

，
∴BP=OQ，即點(diǎn)B與圓心P的距離等于⊙P的半徑，點(diǎn)B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此時(shí)t=

13

18

，且點(diǎn)B在⊙P上．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了翻折變換、勾股定理、菱形的性質(zhì)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．注意，解答（2）時(shí)，要分類(lèi)討論，以防漏解．