(2012•道里區(qū)一模)如圖,△ABC,A(
25
6
,0),B(3,4),將△ABO沿著直線OB翻折,點(diǎn)A落在第二象限內(nèi)的點(diǎn)C處
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)以5個(gè)單位,秒的速度沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),連接AP,將射線AP繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與y軸交于一點(diǎn)Q,且旋轉(zhuǎn)角α=
1
2
∠OAB.設(shè)線段0Q的長(zhǎng)為d,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,求d與t的函數(shù)關(guān)系式(直接寫(xiě)出時(shí)間t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,連接CP,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在CP∥AQ?若存在,求此時(shí)t的值,并判斷點(diǎn)B與以點(diǎn)P為圓心,0Q長(zhǎng)為半徑的⊙P的位置關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)C(x,y).利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,連接AC,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.需要分類討論:當(dāng)0≤t<
1
2
1
2
≤t≤1時(shí),兩種情況下的d與t的函數(shù)關(guān)系式(直接寫(xiě)出時(shí)間t的取值范圍);
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB于點(diǎn)K.假設(shè)存在CP∥AQ,利用平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PE=PK;然后根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系可以求得此時(shí)的t的值;
欲判斷點(diǎn)B與以點(diǎn)P為圓心,0Q長(zhǎng)為半徑的⊙P的位置關(guān)系,只需證明點(diǎn)B與圓心P的距離是否等于⊙P的半徑即可.
解答:解:(1)設(shè)C(x,y)(x<0,y>0).
∵A(
25
6
,0),B(3,4),
∴OA=
25
6
,AB=
(3-
25
6
)
2
+42
=
25
6
;
又∵將△ABO沿著直線OB翻折,點(diǎn)A落在第二象限內(nèi)的點(diǎn)C處,
∴OA=OC,AB=CB;
x2+y2=
625
36
(x-3)2+(y-4)2=
625
36

解得
x=-
7
6
y=4
,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-
7
6
,4);

(2)如圖1,連接AC,過(guò)點(diǎn)B作BG⊥x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.
∵A(
25
6
,0),B(3,4),
∴OA=
25
6
,OG=3,BG=4,
∴AG=
7
6
,
∴AC=
20
3
(勾股定理);
∴AE=
10
3
;
同理,OE=
5
2

①當(dāng)0≤t<
1
2
時(shí),
∵OP=5t,
∴PE=
5
2
-5t,
5
2
-5t
d
=
10
3
25
6

∴d=-
25
4
t+
25
8
;
②當(dāng)
1
2
≤t≤1時(shí),同理:d=
25
4
t-
25
8


(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB于點(diǎn)K;
∵CP∥AQ,
∴∠PCE=∠QAE;
∵AE=CE,AC⊥BO,
∴PC=PA,
∴∠PAE=∠PCE=
1
2
∠QAE=∠PAQ,
∴∠PAB=∠QAE,
∴∠PAE=∠PAB,
∴PE=PK;
∵在菱形ABCO中,∠PBK=∠OBF,
∴sin∠PBK=sin∠OBF=
OF
OB
=
PK
PB
=
4
5
;
∵OP=5t,OB=5,
∴PE=
5
2
-5t,PB=5-5t,
5t-
5
2
5-5t
=
4
5
,
解得,t=
13
18
,
∴存在CP∥AQ,此時(shí)t=
13
18
;
1
2
13
18
≤1,
∴t=
13
18
時(shí),OQ=d=
25
4
t-
25
8
=
25
18
,BP=OB-OP=5-5t=5-
13
18
×5=
25
18
,
∴BP=OQ,即點(diǎn)B與圓心P的距離等于⊙P的半徑,點(diǎn)B在⊙P上,
∴存在CP∥AQ,此時(shí)t=
13
18
,且點(diǎn)B在⊙P上.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了翻折變換、勾股定理、菱形的性質(zhì)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn).注意,解答(2)時(shí),要分類討論,以防漏解.
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100
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40
6
40
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