Question

已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離OE、OF相等，且OB=OC．
（1）如圖，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；

（2）如圖，若點O在△ABC的內(nèi)部，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明理由；

（3）若點O在△ABC的外部，則（1）的結論還成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

【答案】分析：（1）可由HL證得Rt△OBE≌Rt△OCF，從而得到∠B=∠C?AB=BC；
（2）過O作OE⊥AB，OF⊥AC，也可由HL證得Rt△OBE≌Rt△OCF，得到∠EBO=∠FCO，由等邊對等角得到∠OBC=∠OCB，故有∠ABC=∠ACB?AB=AC；
（3）通過作圖，可知AB=AC不一定成立．
解答：（1）證明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：成立．
證明：過O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F，
則∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）解：不一定成立，如右圖．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．利用全等三角形的性質(zhì)求線段相等時證明線段相等的最常用方法之一，要熟練掌握．