Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C處同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)．
問：（1）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是33cm²；
（2）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒，在AB上存在一點(diǎn)M，使△PMQ為等邊三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）可先設(shè)出這個(gè)時(shí)間，然后用時(shí)間表示出四邊形PBCQ（也就是直角梯形PBCQ）的兩底PB，CQ的值，然后已知了高BC的值，那么可用含時(shí)間的未知數(shù)的式子表示出四邊形PBCQ的面積，然后根據(jù)其面積是33，來得出時(shí)間的值．
（2）可分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P在Q上方時(shí)，過Q引AB的垂線，由于PQM是等邊三角形，那么我們可以用t的值表示出PM的一半，然后根據(jù)∠QPM=60°，用正切函數(shù)表示出等邊三角形底邊一半與底邊上的高的比，然后根據(jù)AD的長(zhǎng)求出t的值．
當(dāng)P在Q下方時(shí)，方法同上，只不過表示等邊三角形底邊一半的時(shí)候稍有不同．
解答：解：（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始x秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是33cm，則AP=3x，PB=16-3x，CQ=2x；由梯形的面積公式，可得：
[2x+（16-3x）]×6÷2=33
解得：x=5
答：P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始5秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是33cm²

（2）過Q作QN⊥AB于N，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，那么AP=3t，CQ=CN=2t，
當(dāng)P在Q上方時(shí)如圖（1），PN=AB-CQ-AP=16-5t．
由于三角形PQM是等邊三角形，那么∠NPQ=60°，NQ=PN
6=×（16-5t）
t=（秒）
當(dāng)P在Q下面時(shí)如圖（2），PN=AP-DQ=3t-（16-2t）=5t-16
由于三角形PQM是等邊三角形，那么∠NPQ=60°，NQ=PN
6=×（5t-16）
t=（秒）
答：當(dāng)t為秒時(shí)，三角形PQM是等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．