Question

【題目】閱讀下列材料：

如圖1，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)C，AB是⊙O1和⊙O2外公切線，A、B為切點(diǎn)，

求證：AC⊥BC

證明：過(guò)點(diǎn)C作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線交AB于D，

∵DA、DC是⊙O1的切線

∴DA=DC．

∴∠DAC=∠DCA．

同理∠DCB=∠DBC．

又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，

∴∠DCA+∠DCB=90°．

即AC⊥BC．

根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

（1）在以上的證明過(guò)程中使用了哪些定理？請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)定理的名稱(chēng)或內(nèi)容；

（2）以AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖2），已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0），（1，0），求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c的函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)（2）中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點(diǎn)是否落在兩圓的連心O1O2上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） ；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由切線長(zhǎng)相等可知用了切線長(zhǎng)定理；由三角形的內(nèi)角和是180°，可知用了三角形內(nèi)角和定理；
（2）先根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；
（3）過(guò)作兩圓的公切線，交于點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理可求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過(guò)兩點(diǎn)直線的解析式，根據(jù)過(guò)一點(diǎn)且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過(guò)兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適合即可．

試題解析：(1)DA、DC是的切線，

∴DA=DC.應(yīng)用的是切線長(zhǎng)定理；

，應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理.

(2)設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),則

即

即,解得y=2(舍去)或y=2.

故C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，

設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為

則 解得

故所求二次函數(shù)的解析式為

(3)過(guò)C作兩圓的公切線CD交AB于D,則AD=BD=CD,由A(4,0),B(1,0)可知

設(shè)過(guò)CD兩點(diǎn)的直線為y=kx+b,則

解得

故此一次函數(shù)的解析式為

∵過(guò)的直線必過(guò)C點(diǎn)且與直線垂直，

故過(guò)的直線的解析式為

由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

代入直線解析式得 故這條拋物線的頂點(diǎn)落在兩圓的連心上.