Question

如圖：在直角坐標系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c-8）²=0．
（1）求B、C的坐標；
（2）點A、D是第二象限內的點，點M、N分別是x軸和y軸負半軸上的點，∠ABM=∠CBO，CD∥AB，MC、NB所在直線分別交AB、CD于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°．求∠CMB-∠CNB的值；
（3）如圖：AB∥CD，Q是CD上一動點，CP平分∠DCB，BQ與CP交于點P，給出下列兩個結論：①

∠DQB+QBC

∠QPC

的值不變；②

∠DQB+∠QBC

∠QPC

的值改變．其中有且只有一個是正確的，請你找出這個正確的結論并求其定值．

Answer 1

分析：（1）根據任何數的絕對值與平方的值都是非負數，即可得到b+3=2c-8=0，求得b，c的值，得到B，C的坐標；
（2）根據∠CMB=∠MEA-∠ABM，∠CNB=∠GCF-∠CFB，以及平行線的性質即可求證；
（3）值不變，等于2．根據∠DQB+∠QBC=（∠QBC+∠QCB）+∠QBC=2∠QBC+2∠PCB=2（∠QBC+∠PCB）=2∠QPC即可求證．

解答：解：（1）由題意得：b+3=2c-8=0，（1分）
∴b=-3，c=4．（2分）
∴B（-3，0），C（0，4）．（3分）

（2）∵CD∥AB，
∴∠DCB+∠ABC=180°．
∵∠COB=90°，
∴∠CBO+∠BCO=90°．（4分）
∵（∠GCF+∠DCB+∠BCO）+（∠CBO+∠ABC+∠ABM）
=180°+180°=360°，
∴∠ABM+∠GCF=360°-180°-90°=90°．（5分）
又∵∠CMB=∠MEA-∠ABM=70°-∠ABM
∠CNB=∠GCF-∠CFB=∠GCF-30°（6分）
∴∠CMB-∠CNB=（70°-∠ABM）-（∠GCF-30°）
=100°-（∠ABM+∠GCF）
=100°-90°
=10°．

（3）答：①

∠DQB+∠QBC

∠QPC

的值不變，定值為2．
∵CP平分∠DCB，
∴∠QCB=2∠PCB．
又∵∠DQB=∠QBC+∠QCB，
∴∠DQB+∠QBC
=（∠QBC+∠QCB）+∠QBC
=2∠QBC+2∠PCB
=2（∠QBC+∠PCB）
=2∠QPC
∴②

∠DQB+∠QBC

∠QPC

=

2∠QPC

∠QPC

=2．（12分）

點評：①幾何計算題中，如果依據題設和相關的幾何圖形的性質列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件；
③三角形的外角通常情況下是轉化為內角來解決．