古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.觀察下面的點陣圖和相應(yīng)的等式,探究其中的規(guī)律:
(1)下圖反映了任何一個三角形數(shù)是如何得到的,認(rèn)真觀察,并在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式;

①1=1
②1+2=
(1+2)×2
2
=3
③1+2+3=
(1+3)×3
2
=6
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
;
(2)通過猜想,寫出(1)中與第九個點陣相對應(yīng)的等式
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
;
(3)從下圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.結(jié)合(1)觀察下列點陣圖,并在⑤看面的黃線上寫出相應(yīng)的等式.

①1=12
②1+3=22
③3+6=32
④6+10=42
10+15=52
10+15=52
;
(4)通過猜想,寫出(3)中與第n個點陣相對應(yīng)的等式
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
;
(5)判斷225是不是正方形數(shù),如果不是,說明理由;如果是,225可以看作哪兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和?
分析:(1)根據(jù)計算方法寫出即可;
(2)根據(jù)求解規(guī)律,用點陣的序數(shù)乘比序數(shù)大1的數(shù),再除以2即可;
(3)根據(jù)(1)中三角形數(shù)的規(guī)律寫出即可;
(4)用第(n-1)個三角形數(shù)加上第n個三角形數(shù),整理即可得解;
(5)把225代入第n個點陣的表達(dá)式,計算即可得解.
解答:解:(1)④1+2+3+4=
(1+4)×4
2
;

(2)第九個點陣相應(yīng)的等式:1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
;

(3)⑤10+15=52

(4)第n個點陣相對應(yīng)的等式:
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2;

(5)∵225=152,
∴225是正方形數(shù),
可以看作是14、15兩個相鄰的三角形數(shù)的和.
故答案為:(1)1+2+3+4=
(1+4)×4
2
;(2)1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
;(3)10+15=52;(4)
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
點評:本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查,對圖形變化規(guī)律的考查,仔細(xì)觀察圖形以及三角形數(shù)的定義和求解方法,理解題目信息是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10 …這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1、4、16┅這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.
請再寫出一個符合這一規(guī)律的等式:
25=10+15(答案不唯一)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•澄海區(qū)模擬)古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10 …,這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1、4、9、16…,這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.
(1)第5個三角形數(shù)是
15
15
,第n個“三角形數(shù)”是
n(n+1)
2
n(n+1)
2
,第5個“正方形數(shù)”是
25
25
,第n個正方形數(shù)是
n2
n2

(2)經(jīng)探究我們發(fā)現(xiàn):任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和.
例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④
25=10+15
25=10+15
,⑤
36=15+21
36=15+21
,….
請寫出上面第4個和第5個等式;
(3)在(2)中,請?zhí)骄康趎個等式,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”(如圖①),而把1,4,9,16,…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”(如圖②). 如果規(guī)定a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…;b1=1,b2=4,b3=9,b4=16,…;y1=2a1+b1,y2=2a2+b2,y3=2a3+b3,y4=2a4+b4,…,那么,按此規(guī)定,y6=
78
78
,yn=
2n2+n
2n2+n
(用含n的式子表示,n為正整數(shù)).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,…這樣的數(shù)稱為“三角數(shù)”;把1,4,9,16,…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.從圖中可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和,“正方形數(shù)”36可以寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”
15
15
21
21
之和;“正方形數(shù)”n2可以寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”
n(n-1)
2
n(n-1)
2
n(n+1)
2
n(n+1)
2
之和,其中n為大于1的正整數(shù).

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