Question

如圖，兩個(gè)同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點(diǎn)C，F(xiàn)．AD，BE相交于點(diǎn)G，連接BD．

(1)求BD 的長(zhǎng)；
(2)求∠ABE+2∠D的度數(shù)；
(3)求的值．

Answer 1

（1）10
（2）180°
（3）

解: (1)連接OC.

∵AB是小圓的切線(xiàn),C是切點(diǎn),
∴OC⊥AB,
∴C是AB的中點(diǎn).   …………………1分
∵AD是大圓的直徑,
∴O是AD的中點(diǎn).
∴OC是△ABD的中位線(xiàn).
∴BD="2OC=10. " ………………………2分
(2)由(1)知C是AB的中點(diǎn).
同理F是BE的中點(diǎn).
由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得BC=BF.
∴BA="BE.                           " ………………………………3分
∴∠BAE=∠E.
∵∠E=∠D,  ………………………………………………………………4分
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE="180º.   " …………………………5分
(3)在Rt△OCB中,
∵OB="13, " OC=5,
∴BC="12.     " ……………………………………………………………6分
由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.
∵∠BGO=∠AGB,
∴△BGO∽△AGB.    ……………………………………………………7分
∴.   ……………………………………8分