【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C兩點(點A在點C的左側(cè)),與y軸交于點B,且OAOB

1)求線段AC的長度;

2)若點P在拋物線上,點P位于第二象限,過PPQAB,垂足為Q.已知PQ,求點P的坐標(biāo).

【答案】1)線段AC的長是4;(2)點P的坐標(biāo)為(﹣23)或(﹣1,4).

【解析】

1)根據(jù)題意可以求得點B的坐標(biāo),從而可得到點A的坐標(biāo),進(jìn)而求得函數(shù)解析式,再令y=0,即可得到點C的坐標(biāo),從而可以得到線段AC的長;
2)根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)可以得到直線AB的函數(shù)解析式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì),可以求得點P的坐標(biāo),本題得以解決.

1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3的圖象與y軸交于點B,且OAOB,

∴點B的坐標(biāo)為(0,3),∴OBOA3

∴點A的坐標(biāo)為(﹣3,0),∴0=﹣(﹣32+b×(﹣3+3,解得,b=﹣2

y=﹣x22x+3=﹣(x+3)(x1),

∴當(dāng)y0時,x1=﹣3,x21,

∴點C的坐標(biāo)為(1,0),∴AC1﹣(﹣3)=4,

即線段AC的長是4;

2)∵點A(﹣30),點B3,0),

∴直線AB的函數(shù)解析式為yx+3,

過點PPDy軸交直線AB于點D,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,﹣m22m+3),則點D的坐標(biāo)為(m,m+3),

PD=﹣m22m+3﹣(m+3)=﹣m23m,

PDy軸,∠ABO45°,

∴∠PDQ=∠ABO45°,

又∵PQAB,PQ

∴△PDQ是等腰直角三角形,

PD2,∴﹣m23m2,解得,m1=﹣1,m2=﹣2

當(dāng)m=﹣1時,﹣m22m+34

當(dāng)m=﹣2時,﹣m22m+33,

∴點P的坐標(biāo)為(﹣2,3)或(﹣14).

練習(xí)冊系列答案
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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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(3)在(2)的條件下,設(shè)的半徑為3,求AC的長.

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(2)將函數(shù)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折,得到的新圖象與直線恒有四個交點,從左到右,四個交點依次記為,當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時,求的值.

(3)若點(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點,若關(guān)于m的一元二次方程 恒有實數(shù)根時,求實數(shù)k的最大值.

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【題目】已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.

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1)以上三個命題是真命題的為(直接答題號) ;

2)請選擇一個真命題進(jìn)行證明(先寫出所選命題,然后證明).

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