Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm．
（1）求梯形中位線的長；
（2）求梯形的面積．

Answer 1

（1）解：過D作DE∥AC，交BA的延長線于E，作DN⊥AB于N，
∵DC∥AB，DE∥CA，
∴四邊形DCAE是平行四邊形，
∴DE=AC=5cm，DC=AE，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴BD⊥DE，
即∠EDB=90°，
∵在Rt△EDB中，由勾股定理得：BE===13（cm），
∴梯形ABCD的中位線是：（DC+AB）=BE=×13cm=6.5cm．
答：梯形的中位線是6.5cm．

（2）解：∵在Rt△EDB中，由三角形的面積公式得：DE×BD=BE×DN，
∴5×12=13DN，
∴DN=，
∴梯形ABCD的面積是：×（DC+AB）×DN=×13×=30（cm²），
答：梯形ABCD的面積是30cm²．
分析：（1）過D作DE∥AC，交BA的延長線于E，作DN⊥AB于N，得出平行四邊形DCAE，求出DE=AC，DC=AE，推出∠EDB=90°，根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)梯形的中位線得出BE，代入求出即可；
（2）根據(jù)直角三角形的面積公式得出BE×DN=DE×BD，求出DN，再根據(jù)梯形的面積公式求出即可．
點評：本題考查了梯形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應用，關鍵是求出高DN和BE的長，題目比較典型，綜合性比較強，通過做此題培養(yǎng)了學生的推理能力和計算能力．