Question

（2013•江陰市一模）已知直線y=-

3

4

x+m與x軸y軸分別交于點A和點B，點B的坐標為（0，6）
（1）求的m值和點A的坐標；
（2）在矩形OACB中，某動點P從點B出發(fā)以每秒1個單位的速度沿折線B-C-A運動．運動至點A停止．直線PD⊥AB于點D，與x軸交于點E．設在矩形OACB中直線PD未掃過的面積為S，運動時間為t．
①求s與t的函數關系式；
②⊙Q是△OAB的內切圓，問：t為何值時，PE與⊙Q相交的弦長為2.4？

Answer 1

分析：（1）直接將（0，6）代入求出即可，進而得出圖象與x軸交點坐標；
（2）①利用當PE正好經過點O時，求出BM=

OB

OA

•OB=

6

8

×6=

9

2

，進而利用當0＜t≤

9

2

時，當

9

2

＜t≤8時，當8＜t≤14時分別得出即可；
②首先求出⊙Q的半徑為r，進而根據當PE在圓心Q的兩側時，分別求出即可．

解答：解：（1）把（0，6）代入y=-

3

4

x+m
得：m=6，
則函數的解析式是：y=-

3

4

x+6，
令y=0，則-

3

4

x+6=0，
解得：x=8．
則A的坐標是（8，0）；

（2）①如圖1，當PE正好經過點O時，
∵AB⊥MO，
∴∠OBD+∠BOM=90°，
∵∠OBD+∠MBD=90°，
∴∠MBD=∠BOM，
∵∠MBD=∠BAO，
∠OBM=∠BOA，
∴△MBO∽△BOA，
∴

BM

OB

=

OB

OA

，
則BM=

OB

OA

•OB=

6

8

×6=

9

2

，
四邊形OACB的面積是：6×8=48，
當0＜t≤

9

2

時，BP=t，則BE=

8

6

t=

4

3

t，
則s=S_{四邊形OACB}-S_△BPE=48-

1

2

t•

4

3

t=48-

2

3

t²；
當

9

2

＜t≤8時，BP=t，PC=8-t，
OE=t-

9

2

，
∴AE=8-OE=8-（t-

9

2

）=

25

2

-t，
則s=

1

2

[（8-t）+（

25

2

-t）]•6=

123

2

-6t；
當8＜t≤14時，AP=14-t，PE=

3

4

（146-t），
s=

1

2

×

3

4

（14-t）²=

3

8

（14-t）²；

②⊙Q是△OAB的內切圓，可設⊙Q的半徑為r，
∴S△OAB=

1

2

（6+8+10）r=

1

2

×6×8，
解得r=2，
設⊙Q與OB、AB、OA分別切于點F、G、H，
可知，OF=2，
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4，
如圖2，設直線PD與⊙Q交于點I、J，過Q作QM⊥IJ于點M，連接IQ、QG，
∵QI=2，IM=

1

2

IJ=1.2，
∴QM=

QI2-TM2

=1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA=

BD

BP

=

8

10

，
得BP=

5

4

BD=7，
∴t=7，
當PE在圓心Q的另一側時，P′E′∥PE，
∵直線y=-

3

4

x+6與P′E′垂直，
∴

BP′

BF

=

3

4

，
∵BF=4，
∴BP′=3，則t=3，
綜上，t為7或3秒時，PE與⊙Q相交的弦長為2.4．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式和相似三角形的判定與性質以及多邊形面積求法等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．