Question

已知拋物線y=x²+px+q上有一點M（x，y）位于x軸下方．
（1）求證：此拋物線與x軸交于兩點；
（2）設此拋物線與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求證：x₁＜x＜x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于要證明即拋物線與x軸交于兩點，就是要證△=p²-4q＞0即可求解；
（2）由于此拋物線與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，要證明x₁＜x＜x₂即要證（x-x₁）（x-x₂）＜0即可，而這個不等式利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
解答：解：（1）∵y=x²+px+q上有一點M（x，y）位于x軸下方，
∴y=x²+px+q=（x+）²-＜0，
∴＞（x+）²≥0，
∴p²-4q＞0，
∴△＞0，
∴此拋物線與x軸交于兩點；

（2）∵x₁+x₂=-p，
x₁•x₂=q，
∴y=x²+px+q=x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂＜0，
∴（x-x₁）（x-x₂）＜0，
故x₁＜x＜x₂．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，其中：
（1）拋物線與x軸交點問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個數(shù)、根的符號特征、根的關(guān)系來探討，需綜合運用判別式、韋達定理等知識．
（2）對較復雜的二次方程實根分布問題，常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點來討論，基本步驟是：在直角坐標系中作出對應函數(shù)圖象，由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組．