Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（12，0）和C（0，-6），對(duì)稱軸為x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的結(jié)論下，直線x=1上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（12，0）和C（0，-6），對(duì)稱軸為x=2，根據(jù)待定系數(shù)法可以求得該拋物線的解析式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出時(shí)間t，則根據(jù)線段PQ被直線CD垂直平分，再由垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理來求解t，看t是否存在；
（3）假設(shè)直線x=1上是存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰三角形，此時(shí)要分兩種情況討論：①當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)；②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的勾股定理求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）方法一：∵拋物線過C（0，-6）
∴c=-6，即y=ax²+bx-6
由

- b 2a =2 144a+12b-6=0

解得：a=

1

16

，b=-

1

4

∴該拋物線的解析式為y=

1

16

x2-

1

4

x-6（3分）
方法二：∵A、B關(guān)于x=2對(duì)稱
∴A（-8，0）
設(shè)y=a（x+8）（x-12）
C在拋物線上
∴-6=a×8×（-12）
即a=

1

16

∴該拋物線的解析式為：y=

1

16

x2-

1

4

x-6；（3分）

（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC=

82+62

=10=AD，
∴點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，連接DQ，顯然∠PDC=∠QDC （1分）
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC （1分）
∴DB=AB-AD=20-10=10，
∴DQ為△ABC的中位線，
∴DQ=

1

2

AC=5，（1分）
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分（1分）
在Rt△BOC中，BC=

62+122

=6

5

，
而DQ為△ABC的中位線，
∴CQ=3

5

，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒

3

5

5

單位長(zhǎng)度；（1分）

（3）存在，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=

92+32

=3

10

（1分）
①當(dāng)MP=MQ，即M為頂點(diǎn)，
設(shè)直線CD的直線方程為：y=kx+b（k≠0），
則：

-6=b 0=2k+b

解得：

b=-6 k=3

∴y=3x-6
當(dāng)x=1時(shí)，y=-3，
∴M₁（1，-3）（1分）
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)．
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M（1，y），
則OP=3，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為y，根據(jù)勾股定理得PM₂²=4²+y²，
又PQ²=90，
則4²+y²=90，
即y=±

74

∴M₂（1，

74

），M3(1，-

74

)（1分）
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)，
過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，交直線x=1于F，則F（1，-3）
設(shè)直線x=1存在點(diǎn)M（1，y），由勾股定理得：
（y+3）²+5²=90即y=-3±

65

∴M4(1，-3+

65

)，M5(1，-3-

65

)（1分）
綜上所述：存在這樣的五點(diǎn)：
M₁（1，-3），M₂（1，

74

），M3(1，-

74

)，M4(1，-3+

65

)，M5(1，-3-

65

)．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，還考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，同時(shí)還讓學(xué)生探究存在性問題，對(duì)待問題要思考全面，學(xué)會(huì)分類討論的思想．