Question

如圖所示，在矩形ABCD中AB=12，AC=20，兩條對角線相交于點O．以OB、OC為鄰邊作第1個平行四邊形OBB₁C，對角線相交于點A₁；再以A₁B₁、A₁C為鄰邊作第2個平行四邊形A₁B₁C₁C，對角線相交于點O₁；再以O₁B₁，O₁C₁為鄰邊作第3個平行四邊形O₁B₁B₂C₁；…以此類推．
（1）矩形ABCD的面積為

192

；
（2）第1個平行四邊行OBB₁C的面積為

96

；
第2個平行四邊形A₁B₁C₁C的面積為

48

；
（3）第n個平行四邊形的面積為

192×(

1

2

)n（或

192

2n

）

．

Answer 1

分析：（1）直角三角形ABC中，有斜邊的長，有直角邊AB的長，BC的值可以通過勾股定理求得，有了矩形的長和寬，面積就能求出了．
（2）不難得出OCB₁B是個菱形．那么它的對角線垂直，它的面積=對角線積的一半，我們發(fā)現(xiàn)第一個平行四邊形的對角線正好是原矩形的長和寬，那么第一個平行四邊形的面積是原矩形的一半；
（3）在（2）的基礎上，依此類推第n個平行四邊形的面積就應該是

1

2n

×原矩形的面積．由此可得出第2個和第n個平行四邊形的面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=

AC2-AB2

=

202-122

=16
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．
故答案是：192；

（2）∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四邊形OBB₁C是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四邊形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=

1

2

BC=8，OA₁=

1

2

OB₁=

OB2-A1B2

=6；
∴OB₁=2OA₁=12，
∴S_菱形OBB1C=

1

2

BC•OB₁=

1

2

×16×12=96；
同理：四邊形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=6×8=48；
故答案是：96，48；

（3）由（2）知，
S1=192×(

1

2

)1，
S2=192×(

1

2

)2
…
第n個平行四邊形的面積是：Sn=192×(

1

2

)n（或S_n=

192

2n

），
故答案是：192×(

1

2

)n（或

192

2n

）．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和勾股定理等知識點的綜合運用，本題中找四邊形的面積規(guī)律是個難點．