Question

（2009•懷化）如圖，直線DE經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直線OD于A、B兩點(diǎn)，連接BC，AC，OC．求證：
（1）OC⊥DE；
（2）△ACD∽△CBD．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ODE是等腰三角形，要證OC⊥DE，只要根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，轉(zhuǎn)化為證明C是底邊DE上的中點(diǎn)即可．
（2）要證明△ACD∽△CBD只要求證∠DCA=∠B和∠ADC=∠CDB就可以．
解答：證明：（1）∵OE=OD，
∴△ODE是等腰三角形．（1分）
∵EC=DC，
∴C是底邊DE上的中點(diǎn)．
∴OC⊥DE．（3分）

（2）∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠BAC=90°．（4分）
∵∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B．
∵∠ADC=∠CDB，（5分）
∴△ACD∽△CBD．（6分）
點(diǎn)評：本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理，以及相似三角形的判定方法，可以證明兩個角對應(yīng)相等．