Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于C（0，﹣4）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣3x﹣4；

（2）存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣2）；

（3）此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，﹣6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；

（2）由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線(xiàn)上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大；過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于Q，交x軸于F，易求得直線(xiàn)BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線(xiàn)和直線(xiàn)BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長(zhǎng)，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

，

解得：；

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣3x﹣4；

（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；

如圖1，連接PP′，則PE⊥CO于E，

∵C（0，﹣4），

∴CO=4，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=2

∴y=﹣2；

∴x2﹣3x﹣4=﹣2

解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣2）；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x2﹣3x﹣4），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

∴直線(xiàn)BC的解析式為：y=x﹣4，

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣4）；

當(dāng)0=x2﹣3x﹣4，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴AO=1，AB=5，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+ x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]

=﹣2x2+8x+10

=﹣2（x﹣2）2+18

當(dāng)x=2時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，﹣6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．