Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C分別在坐標(biāo)軸上，且OA=OB=OC，△ABC的面積為9，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以1個單位/秒的速度向下運(yùn)動，連接PA，PB，D（-m，-m）為AC上的點(diǎn)（m＞0）
（1）試分別求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，問：當(dāng)t為何值時，DP與DB垂直相等？請說明理由；

（3）若PA=AB，在第四象限內(nèi)有一動點(diǎn)Q，連QA，QB，QP，且∠PQA=60°，當(dāng)Q在第四象限內(nèi)運(yùn)動時，下列說法：
（i）∠APQ+∠PBQ的度數(shù)和不變；
（ii）∠BAP+∠BQP的度數(shù)和不變，其中有且只有一個說法是正確的，請判斷正確的說法，并求這個不變的值．

Answer 1

分析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90° 得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面積為9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）作DM⊥x軸于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于點(diǎn)N，假設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出△PCD≌△BOD，進(jìn)而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；
（3）在QA上截取QS=QP，連接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等邊三角形，進(jìn)而得出△APS≌△BPQ，從而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．

解答：解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ACB=90°，
又△ABC的面積為9，
∴OA=OC=OB=3，
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；

（2）當(dāng)t=3秒時，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等．
理由如下：連接OD，作DM⊥x軸于點(diǎn)M，作DN⊥y軸于點(diǎn)N，
∵D（-m，-m），
∴DM=DN=OM=ON=m，
∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，
∴DC=DO，
∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，
∴△PCD≌△BOD （SAS），
∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，
∴∠BDP=∠ODC=90°，
即DP⊥DB．

（3）解：（i）正確．在QA上截取QS=QP，連接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等邊三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分線，
∴PA=PB 而PA=AB，
∴PA=PB=AB，
∴∠APB=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
∴△APS≌△BPQ，
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)與判定、線段的垂直平分線性質(zhì)等知識，根據(jù)已知作出正確輔助線從而得出三角形△APS≌△BPQ是解決問題的關(guān)鍵．