如圖,某學(xué)校校園內(nèi)有一塊形狀為直角梯形的空地ABCD,其中AB∥DC,∠B=90°,AB=100m,BC=80m,CD=40m,現(xiàn)計(jì)劃在上面建設(shè)一個(gè)面積為S的矩形綜合樓PMBN,其中點(diǎn)P在線段AD上,且PM的長(zhǎng)至少為36m.
(1)求邊AD的長(zhǎng);
(2)設(shè)PA=x(m),求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(3)若S=3300m2,求PA的長(zhǎng).(精確到0.1m)

【答案】分析:(1)可通過(guò)構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解,過(guò)D作AB的垂線,那么可在構(gòu)建的直角三角形中,根據(jù)梯形兩底的差和梯形的高,用勾股定理求出AD的長(zhǎng).
(2)可根據(jù)(1)中構(gòu)建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值,然后在直角三角形AMP中,表示出AM,PM的長(zhǎng),進(jìn)而可根據(jù)AB的長(zhǎng),表示出矩形的長(zhǎng)BM的值,由此可根據(jù)矩形的面積公式得出關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式.自變量的取值范圍可根據(jù)PM的長(zhǎng)至少為36m來(lái)解,即讓PM的表達(dá)式大于等于36即可.
(3)可將S的值代入(2)所求得的函數(shù)解析式中,求出x的值,然后看x的值是否符合自變量的取值范圍.
解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E
則DE∥BC且DE=BC,CD=BE,DE∥PM
Rt△ADE中,DE=80m
∴AE=AB-BE=100-40=60m
∴AD==100m

(2)∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE


∴PM=x,AM=x
即MB=AB-AM=100-x
S=PM•MB=x•(100-x)=-x2+80x
由PM=x≥36,得x≥45
∴自變量x的取值范圍為45≤x≤100

(3)當(dāng)S=3300m2時(shí),
80x-x2=3300
12x2-2000x+82500=0
3x2-500x+20625=0

∴x1=≈91.7(m),x2==75(m)
即當(dāng)s=3300m2時(shí),PA的長(zhǎng)為75m,或約為91.7m.
點(diǎn)評(píng):本題結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,正確的用x表示出矩形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵.
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