Question

如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一點(diǎn)，且△ADC≌△BOC，連接OD．

    (1) 求證：ACOD是等邊三角形；

    (2) 當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；

    (3) 當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形?

Answer 1

(1) ∵△ADC≌△BOC，∴DC=OC，∠DCA=∠OCB．∵△ABC為等邊三角形，∴∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°．∴∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°．∴△COD是等邊三角形  (2) 當(dāng)α=150°時(shí)，△AOD是直角三角形  理由：∵△ADC≌△BOC，∴∠ADC=∠BOC=150°．又∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90。，即△AOD是直角三角形．  (3) ① 要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°．② 要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=180°－(190°－α+α－60°)=50°，∴α－60°－50°．∴α=110°．③要使AD=OD，需∠AOD=∠OAD，∴190°－α=50°．∴α=140°．

綜上所述，當(dāng)α為125°，110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．