Question

在平面直角坐標系中，如圖所示，△AOB是邊長為2的等邊三角形，將△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到△DCB，使得點D落在x軸的正半軸上，連接OC，AD．
（1）求證：OC=AD；
（2）求OC的長；
（3）求過A、D兩點的直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到的，得出△DCB也是邊長為2的等邊三角形，進而求出△OBC≌△ABD即可得出答案；
（2）作CF⊥OD交x軸于點F．由勾股定理得：CF²=BC²-BF²，求出CF，進而得出CO．
（3）首先求出A，D兩點的坐標，進而得出直線AD的解析式即可．
解答：解：（1）∵△AOB是邊長為2的等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到的，
∴△DCB也是邊長為2的等邊三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD（全等三角形的對應邊相等），

（2）如圖1，作CF⊥OD交x軸于點F，則F為BD的中點，
∴BF=1，
在Rt△BCF中，BC=2，BF=1，
由勾股定理得：CF²=BC²-BF²=4-1=3，
CF=，
在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3，
由勾股定理得：OC²=OF²+CF²=9+3=12，
∴OC==2；

（3）作AE⊥OB交x軸于點E，則E為OB的中點，
∴OE=1，AE=CF=，
∴A點的坐標是（1，）又OD=OB+BD=2+2=4，
故D點的坐標是（4，0）．
設過A、D兩點的直線的解析式為y=kx+b，將A，D點的坐標代入得：
 ，
解得：，
∴過A、D兩點的直線的解析式為y=-x+．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質以及全等三角形的判定和旋轉的性質、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確利用圖形上點的坐標得出解析式是解題關鍵．