Question

（2008•淄博）一條拋物線經過原點O與A（4，0）點，頂點B在直線y=kx+2k（k≠0）上．將這條拋物線先向上平移m（m＞0）個單位，再向右平移m個單位，得到的拋物線的頂點B′仍然在直線y=kx+2k上，點A移動到了點A′．
（1）求k值及原拋物線的表達式；
（2）求使△A′OB′的面積是6032的m值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知條件選擇交點式設出二次函數的解析式．再進一步把它變形為頂點式，則它的頂點坐標滿足直線解析式得到關于k、a的方程．根據將這條拋物線先向上平移m個單位，再向右平移m個單位，在頂點式的基礎上，左加右減，上加下減的方法得到新的拋物線解析式，再進一步把它的頂點坐標代入直線解析式得到關于k、m的方程．即可求得k、a的值，進一步求得拋物線的解析式；
（2）根據點B'的坐標和點A'的坐標，運用割補法表示出三角形的面積，列方程求解．
解答：解：（1）已知原拋物線經過原點O（0，0）與A（4，0）點，
因此可設原拋物線的表達式為y=ax（x-4）．（1分）
配方得y=a（x-2）²-4a，則其頂點B的坐標為（2，-4a）．（2分）
因為頂點B在直線y=kx+2k（k≠0）上，將（2，-4a）代入可得k=-a．（3分）
由題意可知平移后得到的拋物線的頂點B'的坐標為（2+m，-4a+m），即（2+m，4k+m）．
因為B'點仍然在直線y=kx+2k上，則4k+m=k（2+m）+2k，
整理得m=km，因為m＞0，
所以k=1，（4分）
則a=-1，所以原拋物線的表達式為y=-x（x-4）．（或y=-x²+4x）（5分）

（2）方法一：由（1）知，點B'的坐標為（2+m，4+m），
由題意，點A'的坐標為（4+m，m），（6分）
作B'C垂直于y軸于C，作A'D垂直于y軸于D，（7分）
因為m＞0，所以△A'OB'的面積
=△B'OC的面積+梯形B'CDA'的面積-△A'OD的面積
=（2+m）（4+m）+（4+m+m）（4+m-2-m）-m（4+m）
=3m+8，（8分）
由3m+8=6032，
解得m=2008．（10分）
方法二：由（1）知，點B'的坐標為（2+m，4+m），
由題意，點A'的坐標為（4+m，m），（6分）
設直線A'B'的表達式為y=k'x+b，則
解得（7分）
則直線A'B'的表達式為y=-2x+3m+8．
設直線A'B'與x軸的交點為C，則點C的坐標為．（8分）
因為m＞0，
所以＞0，y_A'=m＞0，y_B'=4+m＞0，
所以S_△A'OB'=OC•yB'-OC•yA'=OC（yB'-yA'）=••（4+m-m）=3m+8=6032，
解得m=2008．（10分）
點評：注意：拋物線平移的時候，解析式的變形必須在頂點式的基礎上進行平移：左加右減，上加下減．即把拋物線y=a（x-h）²+k向右平移m個單位長度，再向上平移m個單位長度得到的拋物線的解析式是y=a（x-h-m）²-4a+m；一個點平移的時候，橫坐標是左減右加，縱坐標是上加下減．能夠運用割補法把在平面直角坐標系中擺放不規(guī)則的圖形的面積進行求解．