Question

已知，如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線l₁的解析式為y=-x²，將拋物線l₁平移后得到拋物線l₂，若拋物線l₂經(jīng)過點（0，2），且其頂點A的橫坐標為最小正整數(shù)．
（1）求拋物線l₂的解析式；
（2）說明將拋物線l₁如何平移得到拋物線l₂；
（3）若將拋物線l₂沿其對稱軸繼續(xù)上下平移，得到拋物線l₃，設(shè)拋物線l₃的頂點為B，直線OB與拋物線l₃的另一個交點為C．當OB=OC時，求點C的坐標．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線l₂的解析式為y=-x²+bx+c．
∵點（0，2）在拋物線l₂上，
∴y=-x²+bx+2．
∵拋物線l₂的頂點的橫坐標為1，
∴b=2．
∴l(xiāng)₂的解析式為y=-x²+2x+2．

（2）∵y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，
∴將拋物線l₁：y=-x²的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，可以得到拋物線l₂．（答案不唯一）

（3）設(shè)頂點B的坐標為（1，m），
則拋物線l₃的解析式為y=-（x-1）²+m．
∵OB=OC，且B、O、C三點在同一條直線上，
∴點B與點C關(guān)于原點對稱．
∴點C的坐標為（-1，-m）．
∵點C在拋物線l₃上，
∴-m=-（-1-1）²+m．
∴m=2．
∴點C的坐標為（-1，-2）．
分析：（1）根據(jù)拋物線l₂經(jīng)過點（0，2），即可求出c的值，再利用其頂點A的橫坐標為最小正整數(shù)，求出b的值即可；
（2）根據(jù)配方法得出y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3，即可得出圖象的平移方向；
（3）利用OB=OC，且B、O、C三點在同一條直線上，點B與點C關(guān)于原點對稱，進而得出點C的坐標為（-1，-m）代入拋物線l₃的解析式y(tǒng)=-（x-1）²+m，求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及圖象的平移和點的坐標性質(zhì)，根據(jù)已知得出點B與點C關(guān)于原點對稱，點C的坐標為（-1，-m）是解題關(guān)鍵．