Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OE，由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可證得直線CE與⊙O的位置關系是相切；
（2）首先易證得△CDE∽△CBA，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得DE的長，又由勾股定理即可求得AC的長，然后設OA為x，即可得方程（）²-x²=（-x）²，解此方程即可求得⊙O的半徑．
解答：解：（1）直線CE與⊙O相切．…（1分）
理由：連接OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，…（3分）
∴直線CE與⊙O相切；…（4分）

（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，…（5分）
∴，…（6分）
又CD=AB=，BC=2，
∴DE=1
根據勾股定理得EC=，
又AC==，…（7分）
設OA為x，則（）²+x²=（-x）²，
解得x=，
∴⊙O的半徑為．…（8分）
點評：此題考查了切線的判定與性質，矩形的性質，相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．