Question

已知x、y、z是三個非負整數(shù)，滿足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若s=2x+y-z，則s的最大值與最小值的和為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先推斷出S取最大值與最小值時的x、y、z的值，再求S的最大值與最小值的和．

解答：解：法1：要使S取最大值，2x+y最大，z最小，
∵x、y、z是三個非負整數(shù)，
∴z=0，解方程組

3x+2y=5 x+y=2

，解得：

x=1 y=1

，
∴S的最大值=2×1+1-0=3；
要使S取最小值，
聯(lián)立得方程組

3x+2y+z=5(1) x+y-z=2(2)

，
（1）+（2）得4x+3y=7，y=

7-4x

3

，
（1）-（2）×2得，x+3z=1，z=

1-x

3

，
把y=

7-4x

3

，z=

1-x

3

代入S=2x+y-z，整理得，S=x+2，當x取最小值時，S有最小值，
∵x、y、z是三個非負整數(shù)，
∴x的最小值是0，
∴S_最小=2，
∴S的最大值與最小值的和：3+2=5；
法2：∵x+y-z=2，S=2x+y-z，
∴S=x+2，
∵3x+2y+z=5，x+y-z=2，
∴y=

7-4x

3

或z=

1-x

3

，
∵x，y，z為三個非負有理數(shù)，
∴

7-4x

3

≥0①，

1-x

3

≥0②，
解不等式①得，x≤

7

4

，
解不等式②得，x≤1，
∴x≤1，
又x，y，z為三個非負有理數(shù)，
∴0≤x≤1，
∴S的最大值3，最小值3，
則S的最大值與最小值的和：3+3=6．
故答案為：6．

點評：本題考查了函數(shù)的最值問題．解答時，在給定的范圍內(nèi)（x、y、z是三個非負整數(shù)），求一個代數(shù)式s=2x+y-z的最值問題，難度較大．所以采取了化歸思想，例如，將問題轉(zhuǎn)化為“要使S取最大值，2x+y最大，z最小”．