Question

如圖，⊙O的圓心在x軸上，與坐標軸交于A（0，2）、B（，0），若拋物線經過A、B兩點，拋物線的頂點為P．
（1）求出拋物線的關系式；
（2）拋物線的頂點P是否在圓上？
（3）若⊙O與y軸的另一交點為D，則由線段PA、線段PD及弧ABD形成的封閉圖形PABD的面積為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）知A，B兩點代入二次函數(shù)式求其解析式；
（2）知道二次函數(shù)式求其頂點坐標，在Rt△AMO中，由勾股定理求得OA=OB，即圓點O坐標，從而確定．
（3）連接OD，又點O在拋物線的對稱軸上，得OP∥y軸，又得S_△OAD=S_△PAD，由線段PA、線段PD及弧ABD形成的面積，在Rt△AMO中，利用三角函數(shù)求得角AOM為60°，從而求得．
解答：解：（1）∵拋物線經過點A、B，
有，
解得，
∴；

（2）由得，
頂點P的坐標為（1，），
在Rt△AMO中，OA²-OM²=AM²，AM=，BM=1，
故有OA²-（OA-1）²=3，
∴OA=2
∴OB=2，OM=1，即點O的坐標為（1，0）．
∴OP=＞2，
∴頂點P在圓外；

（3）連接OD，∵點O在拋物線的對稱軸上，
∴OP∥y軸，
∴S_△OAD=S_△PAD，
∴由線段PA、線段PD及弧ABD形成的封閉圖形PABD的面積=扇形OAD的面積．
∵在Rt△AMO中，sin∠AOM=，
∴∠AOM=60°．
∴封閉圖形PABD的面積=（平方單位）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，考查了知道二次函數(shù)上的兩點求函數(shù)式，考查了拋物線的頂點以及將其代入圓中符合即其頂點在圓上，考查了圓與直線所構成圖形面積的求值．