Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E為直角邊AB上任意一點(diǎn)，以線段CE為
斜邊做等腰Rt△CDE，連接AD，下列說法：
①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD面積的最大值為．
其中正確的是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)已知條件看能得到哪些等量條件，然后根據(jù)得出的條件來判斷各結(jié)論是否正確．
解答：解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
②∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故②正確；
①當(dāng)B、E重合時(shí)，A、D重合，此時(shí)DE⊥AC；
當(dāng)B、E不重合時(shí)，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，則∠AFE、∠DFC必為銳角；
故①不完全正確；
④∵==，
∴=，
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；
③∵由④知∠DAC=45°，
∴∠EAD=135°，∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，
∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
∴△EAD與△BEC不相似，故③錯(cuò)誤；
⑤∵△ABC的面積為定值，
∴若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
∵△ACD中，AD邊上的高為定值，
∴若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長時(shí)，BE也最長；
故梯形ABCD面積最大時(shí)，E、A重合，此時(shí)EC=AC=，AD=；
故S_梯形ABCD=（1+）×=，故⑤正確．
故答案為：②④⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．