Question

【題目】已知長(zhǎng)方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,點(diǎn)M在邊CD上，由C往D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，將△ADM沿著AM翻折至△ADM，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，AD所在直線與邊BC交于點(diǎn)P.

（1）如圖1，當(dāng)t=0時(shí)，求證：PA=PC；

（2）如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D恰好落在邊BC上；

（3）如圖3，當(dāng)t=3時(shí)，求CP的長(zhǎng).

（

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）由折疊性質(zhì)可得ADCA DC可得∠DAC=∠DAC, 在長(zhǎng)方形ABCD中，AD//BC,可得 ∠DAC=∠BCA,從而得到∠DAC=∠BCA，即可得出結(jié)論。

（2）由折疊性質(zhì)可得ADCA DC可得DM=DM=6-t，AD=A D=10，根據(jù)勾股定理可得B D=8則C D=2,在RtCM D中，根據(jù)勾股定理列出方程即可。

（3）當(dāng)t=3時(shí)，CM=DM=3, 連接PM，根據(jù)HL證得M DPMCP,可得DP=PC, ∠DMP=∠CMP, 由折疊性質(zhì)可得得出∠AMD=∠AMD,從而證得∠AMP=90,再根據(jù)ADMMDP即可。

（1）當(dāng)t=0時(shí)，M與C重合

由折疊性質(zhì)可得ADCA DC

∴∠DAC=∠DAC,

在長(zhǎng)方形ABCD中，AD//BC,

∴ ∠DAC=∠BCA

∴∠DAC=∠BCA，

∴PA=PC；

（2）由折疊性質(zhì)可得ADCA DC

∴DM=DM=6-t，AD=A D=10，

在RtABD中，B D==8

∴DC=BC- B D=10-8=2cm

在RtCMD中，

∴

解得：t=

∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)D恰好落在邊BC上；

（3）當(dāng)t=3時(shí)，CM=DM= DM=3,

由折疊性質(zhì)可得：∠ADM=∠D=90

連接PM，

在RtM DP和RtMCP中

∴M DPMCP,

∴DP=PC, ∠DMP=∠CMP,

∵∠AMD=∠AMD

∴∠PMD+∠AMD=90

∵∠MAP +∠AMD=90

∴∠PMD=∠MAP

∵∠ADM=∠PDM

∴M DAP DM

∴

∴= P D. A D

∴= P D.10

∴P D=

∴CP=