Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于點(diǎn)M，點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)．
（1）若AB=4，求△DNF的周長(zhǎng)及sin∠DAF的值；
（2）求證：2ADNF=DEDM．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，

∴EC=DF= ×4=2，

由勾股定理得，DE= =2 ，

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)，

∴DN= DE= ×2 = ，

NF= EC= ×2=1，

∴△DNF的周長(zhǎng)=1+ +2=3+ ；

在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF= = =2 ，

所以，sin∠DAF= = =

（2）證明：在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠DAF+∠AFD=90°，

∴∠CDE+∠AFD=90°，

∴AF⊥DE，

∵點(diǎn)N、F分別是DE、CD的中點(diǎn)，

∴NF是△CDE的中位線，

∴DF=EC=2NF，

∵cos∠DAF= ，

cos∠CDE= ，

∴ ，

∴2ADNF=DEDM．

【解析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)定義求出EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出DE，然后三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出NF，再求出DN，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解；利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解；（2）利用“邊角邊”證明△ADF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAF=∠CDE，再求出AF⊥DE，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF=EC=2NF，然后根據(jù)∠DAF和∠CDE的余弦列式整理即可得證．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正方形的性質(zhì)(正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．