Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，頂點為M，△MAB為直角三角形，圖象的對稱軸為直線x=-2，點P是拋物線上位于A，C兩點之間的一個動點，則△PAC的面積的最大值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：此題和一些壓軸題的圖形面積問題相似度很高，所以思路也是一致的，即：連接AC，求出直線AC的解析式，然后過P作y軸的平行線，交直線AC于點Q，先設(shè)出點P、Q點的坐標(biāo)，可得到線段PQ的長度，那么以PQ為底、OA為高即可得到△PAC的面積；那么，求出拋物線和直線AC的解析式，即求出點A、B、C的坐標(biāo)是解答題目的關(guān)鍵，這就要從△MAB的特殊形狀和拋物線對稱軸方程入手解答．
首先，由拋物線對稱軸方程可得出b的值，那么拋物線解析式中只有一個待定系數(shù)，用c表示出x_B-x_A和點M的縱坐標(biāo)；由于拋物線的對稱性，那么△MAB必為一個等腰直角三角形，所以AB的長等于2倍的點M到x軸的距離，根據(jù)這個思路來列方程求出c的值，至此，題目的難點逐一突破．
解答：解：∵x=-=-2，且a=1，∴b=4；
則，拋物線：y=x²+4x+c；
∴AB=x_B-x_A===2，點M（-2，c-4）；
∵拋物線是軸對稱圖形，且△MAB是直角三角形，
∴△MAB必為等腰直角三角形，則有：AB=2=2|c-4|，
解得：c=3；
∴拋物線：y=x²+4x+3，且A（-3，0）、B（-1，0）、C（0，3）．
過點P作直線PQ∥y軸，交直線AC于點Q，如右圖；
設(shè)點P（x，x²+4x+3），由A（-3，0）、C（0，3）易知，直線AC：y=x+3；
則：點Q（x，x+3），PQ=（x+3）-（x²+4x+3）=-x²-3x；
S_△PAC=PQ×OA=×（-x²-3x）×3=-（x+）²+，
∴△PAC有最大面積，且值為 ；
故選C．
點評：這道題目雖然是選擇題，但考查的內(nèi)容與壓軸題類似，題目的難點在于拋物線解析式的確定，這就涉及到二次函數(shù)與方程的聯(lián)系、拋物線的對稱性以及等腰直角三角形的特點等知識的綜合應(yīng)用，難度較大．