Question

已知：正方形ABCD，點A、B在x軸上，直線y=mx+n（＜n＜m）過點A、C交y軸于點E，S_△AOE=2S_{正方形ABCD}，拋物線y=ax²+bx+c過點A、B，且頂點G在直線y=mx+n上，拋物線y與軸交于點F．
（1）求a•b•c的值；
（2）求S_△AGF的范圍．

Answer 1

解：（1）直線AE中，y=mx+n，則E（0，n）；
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，則tan∠CAB=1，
∴OA=OE=n，即A（-n，0）；
△AOE中，AO=n，OE=n，
則S_△AOE=OA•OE=，又S_{正方形ABCD}=AB²，
∵S_△AOE=2S_{正方形ABCD}，
∴n²=2AB²，即AB=n，
故OB=OA-AB=n-n=n，即B（-n，0）；
∴A（-n，0），B（-n，0）．
∵G是拋物線的頂點，且A（-n，0），B（-n，0），
∴G點的橫坐標為-n；
易知G是線段AC的中點，故BC=AB=2y_G，
∴G點的縱坐標為n；
即G（-n，n）；
設拋物線的解析式為y=a（x+n）²+n，將A（-n，0）代入上式，得：
a×n²+n=0，即a=-；
∴y=-（x+n）²+n=-x²-6x-2n；
故abc=（-）×（-6）×（-2n）=-48．

（2）根據(jù)（1）得到的拋物線解析式，易知F（0，-2n）；
∵E（0，n），A（-n，0），G（-n，n），
∴S_△AEF=EF•OA=，S_△EGF=EF•|x_G|=n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF=n²-n²=n²，又n＞，
故S_△AGF的范圍為：S_△AGF＞．
分析：（1）根據(jù)直線AE的解析式可得到點E的坐標，根據(jù)正方形ABCD的邊長相等得到AB=BC，即AO=OE，由此可求得點A的坐標；易求得△AOE的面積，即可得到正方形ABCD的面積，由于AB=BC，可用AB表示出正方形ABCD的面積，進而可得到AB的值（含n的表達式），由此可確定點B的坐標．由于點G是拋物線的頂點，即在拋物線的對稱軸上，根據(jù)A、B的坐標，可求得點G的橫坐標，而G點在直線AE上，那么G點的縱坐標應該是AB的（由于AB=BC=2y_G），由此可確定點G的坐標；可將拋物線設為頂點坐標式，將A或B的坐標代入其中，即可求出含n的拋物線解析式，進而可求出abc的值；
（2）△AGF的面積無法直接求出，分析圖形后可知△AGF的面積為△AEF、△EGF的面積差，這兩個三角形的頂點的坐標都已求出，即可得到△AGF的面積表達式（含n的式子），根據(jù)已知的n的取值范圍，即可求得△AGF的面積范圍．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等重要知識，由于本題中大部分數(shù)據(jù)都是字母，乍看之下無從下手，但是只要將字母當做已知數(shù)來對待，即可按照常規(guī)思路解決問題．