Question

【題目】已知拋物線(xiàn)c:y=－x2－2x＋3和直線(xiàn)l:y=x＋d。將拋物線(xiàn)c在x軸上方的部分沿x軸翻折180°，其余部分保持不變，翻折后的圖象與x軸下方的部分組成一個(gè)“M”型的新圖象(即新函數(shù)m：y=－|x2＋2x－3|的圖象)。

(1)當(dāng)直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，d= ；

(2)當(dāng)直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求d的值；

(3)當(dāng)直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求d的取值范圍；

(4)當(dāng)直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出d的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)d=；(2)d=或d=(3)<d<或d<； (4)<d<。

【解析】

（1）令－x2－2x＋3=x＋d求解即可；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)c:y=－x2－2x＋3與x軸交于點(diǎn)A(－3,0)，點(diǎn)B(1,0)，則根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根求出P的坐標(biāo)，然后求解即可；

（3）（4）根據(jù)（2）求出的P點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合畫(huà)圖找出d的取值范圍即可.

解：(1)當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3,0)時(shí)，d=；

(2)設(shè)拋物線(xiàn)c:y=－x2－2x＋3與x軸交于點(diǎn)A(－3,0)，點(diǎn)B(1,0)，

直線(xiàn)l:y=x＋d與拋物線(xiàn)c:y=x2＋2x－3(－3<x<1)相切于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)恰好是方程x＋d=x2＋2x－3，即2x2＋3x－2d－6=0(－3<x<1)的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，解△=9＋8(2d＋6)=0得d=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為().

①當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0)時(shí)，直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，解得d=；

②當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P()時(shí)，直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，解得d=； 　　　　　　

∴綜合①、②得：d=或d=

(3)①由平移直線(xiàn)l可得：直線(xiàn)l從經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3,0)開(kāi)始向下平移到直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P()的過(guò)程中，直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得<d<

②直線(xiàn)l從經(jīng)過(guò)點(diǎn)P()繼續(xù)向下平移的過(guò)程中，直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得d<；

∴綜合①、②得：<d<或d<；

(4)如圖：當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,0)時(shí)，直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，解得d=；

當(dāng)直線(xiàn)l繼續(xù)向下平移的過(guò)程中經(jīng)過(guò)點(diǎn)P()，直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，可得d=；

∴要使直線(xiàn)l與這個(gè)新圖象有四個(gè)公共點(diǎn)則d的取值范圍是<d<.