Question

如圖1，在邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的點，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延長EF交正方形外角平分線CP于點P（如圖2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由同角的余角相等得到∠1=∠2，故有Rt△ABE∽Rt△ECF?AB：CE=BE：CF?EC：CF=AB：BE=5：2；
（2）在AB上取BH=BE，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECP，從而得到AE=EP；
（3）先證△DAM≌△ABE，繼而可得四邊形DMEP是平行四邊形．
解答：解：（1）如圖1．∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE=BE：CF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2

（2）如圖2，在AB上取BG=BE，連接EG，
∵ABCD為正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BG，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECP中
，
∴△AGE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）存在．順次連接DMEP．
如圖3．
在AB取點M，使AM=BE，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠DAM=∠ABE=90°，DA=AB，

∴△DAM≌△ABE（SAS），
∴DM=AE，
∵AE=EP，
∴DM=PE，
∵∠1=∠5，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴DM⊥AE，
∴DM∥PE
∴四邊形DMEP是平行四邊形．
點評：本題中，要熟練掌握正方形的性質(zhì)及三角形相似的判定和性質(zhì)的綜合運用．
（1）中求線段的比，一般會與相似三角形掛勾；
（2）中增加了角平分線的相關(guān)性質(zhì)，通過目測可猜想兩條線段相等，從而通過構(gòu)造全等三角形的判定求解或是利用角平分線的性質(zhì)定理求解；
（3）中則考查了平行四邊形的識別．
命題規(guī)律與趨勢：本題起點不難，采用低起點、寬入口、坡度緩、步步高、窄出口”的分層考查的特點，考查學(xué)生的綜合運用知識解決總理的能力．以正方形為依托，以點的變化形式綜合考查了三角形相似、三角形全等、角平分線性質(zhì)、平行四邊形的識別等知識．圖中正確解讀信息、找到正確的思路是解決問題的關(guān)鍵．