Question

（2013•杭州）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿(mǎn)足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)它們的面積和為S₁．
（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S₂，CF=x，y=

S1

S2

．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，求y的值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論；
（2）本問(wèn)關(guān)鍵是求出y與x之間的函數(shù)解析式．
①首先分別用x表示出S₁與S₂，然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式．這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最大值；
②注意中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì)．

解答：（1）證明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°；
而在△PFC中，由于PC為正方形ABCD的對(duì)角線，則∠PCF=45°，
則∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．

（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CFP，則

AP

CF

=

AE

PC

．
而在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，則AC=

2

AB=4

2

，
又∵P為對(duì)稱(chēng)中心，則AP=CP=2

2

，
∴AE=

AP•PC

CF

=

2 2 •2 2

x

=

8

x

．
如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PG⊥BC于點(diǎn)G，

P為AC中點(diǎn)，則PH∥BC，且PH=

1

2

BC=2，同理PG=2．
S_△APE=

1

2

PH•AE=

1

2

×2×

8

x

=

8

x

，
∵陰影部分關(guān)于直線AC軸對(duì)稱(chēng)，
∴△APE與△APN也關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，
則S_{四邊形AEPN}=2S_△APE=

16

x

；
而S₂=2S_△PFC=2×

PG•CF

2

=2x，
∴S₁=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AEPN}-S₂=16-

16

x

-2x，
∴y=

S1

S2

=

16- 16 x -2x

2x

=-

8

x2

+

8

x

-1．
∵E在AB上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令

1

x

=a，則y=-8a²+8a-1，當(dāng)a=-

8

-2×8

=

1

2

，即x=2時(shí)，y取得最大值．
而x=2在x的取值范圍內(nèi)，代入x=2，則y_最大=4-2-1=1．
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=-

8

x2

+

8

x

-1（2≤x≤4），y的最大值為1．
②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng)，
而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱(chēng)，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，
則EB=BF，即AE=FC，
∴

8

x

=x，解得x=2

2

，
代入x=2

2

，得y=2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形、二次函數(shù)的解析式與最值、幾何變換（軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)）、圖形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，有一定的難度．本題重點(diǎn)與難點(diǎn)在于求出y與x的函數(shù)解析式，在計(jì)算幾何圖形面積時(shí)涉及大量的計(jì)算，需要細(xì)心計(jì)算避免出錯(cuò)．