Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式

（2）是否存在點(diǎn)D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．連接DF，FG，當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3）或（，）；（3）G（，）．

【解析】

（1）根據(jù)，求出A，B的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中即可求得拋物線解析式；

（2）△BDE和△ACE相似，要分兩種情況進(jìn)行討論：①△BDE∽△ACE，求得，

；②△DBE∽△ACE，求得，；

（3）由DEGF是平行四邊形，可得DE∥FG，DE=FG，設(shè)，，，，根據(jù)平行四邊形周長公式可得：DEGF周長=，由此可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解：（1）在中，令，得，令，得，

，，

將，分別代入拋物線中，得：，解得：，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．

（2）存在．如圖1，過點(diǎn)作于，設(shè)，則，，；

，，，，

和相似，

或

①當(dāng)時(shí)，，

，即：

，解得：（舍去），（舍去），，

，

②當(dāng)時(shí)，

，

，即：

，解得：（舍，（舍，，

，；

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；

（3）如圖3，四邊形是平行四邊形

，

設(shè)，，，，

則：，，

，即：，

，即：

過點(diǎn)作于，則

，即：

，即：

周長

，

當(dāng)時(shí)，周長最大值，

，．