Question

（2003•江西）如圖，已知A、D兩點分別是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，連接GH、AD，延長AD交BC于M，延長DA交EF于N，G是FD與AB的交點，H是ED與AC的交點．
（1）請寫出三個不同類型的、必須經過至少兩步推理才能得到的正確結論（不要求寫出證明過程）；
（2）問FE、GH、BC有何位置關系？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以通過三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形；等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°；推論：在直角三角形中，如果有一個銳角三角形等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，列出正確結論．
（2）FE、GH、BC的位置關系，即證它們平行，還是相交，可由D、A分別是正三角形ABC、正三角形DEF的中心，證明四邊形AGDH是菱形，得出MN⊥GH，根據正三角形的性質得出MN⊥EF，MN⊥BC，從而證明FE∥GH∥BC．
解答：解：（1）本題有許多答案，例如：
①∠CAM=30°；
②FD∥AC；
③MN⊥GH；
④四邊形AGDH是菱形；
⑤△AGH是等邊三角形；
⑥△AGD是等腰三角形；
⑦△ABM是直角三角形；
⑧△ABC≌△DEF；
⑨△AGH∽△ABC；
⑩GH=BC；
①①整個圖形是軸對稱圖形；
①②整個圖形是中心對稱圖形；
說明：每寫出了一個符合要求的結論給（1分），最多給（3分）．

（2）答：FE∥GH∥BC（4分）
證明：∵D、A分別是正三角形ABC、正三角形DEF的中心
∴∠GAD=∠GDA=∠ADH=∠HAD=30°
∴AG∥DH，AH∥GD，AH=DH
∴四邊形AGDH是菱形．（5分）
∴MN⊥GH
又MN⊥EF，MN⊥BC
∴FE∥GH∥BC（7分）
點評：本題綜合考查平行線的判斷，等邊三角形的性質及菱形的判斷，屬于開放性試題．