Question

【題目】問題探究

（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別是邊BC、CD上兩點，且BM＝CN，連接AM和BN，交于點P．猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論．

（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點C和D運動．連接AM和BN，交于點P，求△APB周長的最大值；

問題解決

（3）如圖③，AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60°．點M和N分別從點B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點C和A運動．連接AM和BN，交于點P．求△APB周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）△APB周長的最大值4+4；（3）△PAB的周長最大值=2+4．

【解析】

試題根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN，即可證得AM⊥BN；

（2）如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP，證明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；

（3）如圖③，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB，證明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.

試題解析：（1）結論：AM⊥BN．

理由：如圖①中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，

∵BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠CBN+∠ABN=90°，

∴∠ABN+∠BAM=90°，

∴∠APB=90°，

∴AM⊥BN．

（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，

∴四邊形EFPG是矩形，

∴∠FEG=∠AEB=90°，

∴∠AEF=∠BEG，

∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，

∴△AEF≌△BEG，

∴EF=EG，AF=BG，

∴四邊形EFPG是正方形，

∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，

∵EF≤AE，

∴EF的最大值=AE=2，

∴△APB周長的最大值=4+4．

（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，

∴∠APB=120°，

∵∠AKB=60°，

∴∠AKB+∠APB=180°，

∴A、K、B、P四點共圓，

∴∠BPH=∠KAB=60°，

∵PH=PB，

∴△PBH是等邊三角形，

∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，

∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，

∴△KBH≌△ABP，

∴HK=AP，

∴PA+PB=KH+PH=PK，

∴PK的值最大時，△APB的周長最大，

∴當PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，

∴△PAB的周長最大值=2+4．