Question

（2007•淮安）在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個(gè)如圖所示的直角三角形紙片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，D點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)D、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據(jù)勾股定理可以求得OB=；所以可以求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）如果連接DE，那么根據(jù)D、E兩點(diǎn)的速度可得出OD：OE=，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（3）本題只需考查直線DE過(guò)O，A兩點(diǎn)時(shí)，t的取值即可．
（4）本題要分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)0≤t≤時(shí)，重合部分是三角形．
②當(dāng)＜t≤時(shí)，重合部分是四邊形．
③當(dāng)＜t≤時(shí)，重合部分是三角形．
可據(jù)此來(lái)求出S，t的關(guān)系式，以及S的最大取值．
解答：解：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據(jù)勾股定理可以求得OB=；則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）；

（2）垂直．
理由：連接DE，直角三角形ODE中，tan∠OED==，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（3）因?yàn)镈E總是垂直于OA運(yùn)動(dòng)，因此可以看做直線DE沿OA方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．因此兩者有公共點(diǎn)的取值范圍就是O?A之間．
當(dāng)DE過(guò)O點(diǎn)時(shí)，t=0．
當(dāng)DE過(guò)A點(diǎn)時(shí)，直角三角形OAD中，OA=2，∠ODA=30°，因此OD=4，t=．
因此t的取值范圍是0≤t≤．

（4）當(dāng)0≤t≤時(shí)，S=t²；Smax=；
當(dāng)＜t≤時(shí)，S=-t²-（-t）²=-（t-）²+，Smax=；
當(dāng)＜t≤時(shí)，S=（2-t）²，S無(wú)最大值；
綜上所述S的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要分類(lèi)進(jìn)行討論．分類(lèi)討論是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法，難點(diǎn)是一要想到用討論的方法進(jìn)行求解．二是討論界限要確定不要漏解和重復(fù)．