Question

（2011•寶安區(qū)一模）如圖1，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若矩形EFMN的頂點F、M在位于x軸上方的拋物線上，一邊EN在x軸上（如圖2）．設點E的坐標為（x，0），矩形EFMN的周長為L，求L的最大值及此時點E的坐標；
（3）在（2）的前提下（即當L取得最大值時），在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使△PMN沿直線PN折疊后，點M剛好落在y軸上？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用交點式假設出二次函數(shù)解析式，求出即可；
（2）利用L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），有二次函數(shù)的最值求法得出答案；
（3）首先設存在滿足條件的點P（1，y），進而利用勾股定理得出PM²+PN²=MN²，即可得出y的值，進而得出P點坐標．

解答：（1）解：由題意可設拋物線為y=a（x+1）（x-3），
拋物線過點（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3），
即：y=-x²+2x+3；

（2）解：由（1）得拋物線的對稱軸為直線x=1，
∵E（x，0），
∴F（x，-x²+2x+3），EN=2（1-x），
∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），
化簡得  l=-2x²+10，
∵-2＜0，
∴當x=0時，L取得最大值是10，
此時點E的坐標是（0，0）；

（3）解：由（2）得：E（0，0），F(xiàn)（0，3），M（2，3），N（2，0），
設存在滿足條件的點P（1，y），
并設折疊后點M的對應點為M₁，
∴∠NPM=∠NPM₁=90°，PM=PM₁，
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴（3-y）²+1²+y²+1²=3²，
解得：y1=

3+ 5

2

，y2=

3- 5

2

，
∴點P的坐標為（1，

3+ 5

2

）或（1，

3- 5

2

），
當點P的坐標為（1，

3+ 5

2

）時，
連接PC，
∵PG是CM的垂直平分線，
∴PC=PM，
∵PM=PM₁，∴PC=PM=PM₁，
∴∠M₁CM=90°，
∴點M₁在y軸上，
同理可得當點P的坐標為（1，

3- 5

2

）時，點M₁也在y軸上，
故存在滿足條件的點P，點P的坐標為（1，

3+ 5

2

）或（1，

3- 5

2

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及勾股定理以及二次函數(shù)的最值，利用數(shù)形結合得出P點坐標特點以及∠NPM=∠NPM₁=90°是解題關鍵．