Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求拋物線的解析式及直線AC的解析式；
（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；
（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式．
（2）PE的長實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，用x分別表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于PE的長、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值．
（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對(duì)角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質(zhì)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，
得b=-2，c=-3；
∴y=x²-2x-3．
將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1．

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值=．

（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），F(xiàn)₃（4+，0），F(xiàn)₄（4-，0）．
①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥X軸，此時(shí)AF=CG=2，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1±，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+．因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-，0）；

綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，（3）題應(yīng)將所有的情況都考慮到，不要漏解．