Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（4，1）、（3，-1），
（1）若將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后的像A₁B₁；
（2）直接寫(xiě)出B₁點(diǎn)坐標(biāo)和∠PBB₁的度數(shù)；
（3）若將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，試計(jì)算出線(xiàn)段AB掃過(guò)的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)，將A，B分別旋轉(zhuǎn)即可得出答案；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得出，∠BPB₁=90°，PB=PB₁，則∠PBB₁=45°；
（3）計(jì)算出線(xiàn)段AB掃過(guò)的面積，根據(jù)邊AB掃過(guò)的圖形是圓環(huán)，它的面積為大圓的面積減去小圓的面積，其中小圓半徑和大圓半徑，利用圓的面積公式計(jì)算即可．
解答：解：（1）如圖所示：
；

（2）根據(jù)圖象可以得出：B₁（5，-2）；
根據(jù)將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
故∠BPB₁=90°，PB=PB₁，
則∠PBB₁=45°； 

（3）過(guò)P作PE⊥AB，如圖，
線(xiàn)段AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則邊AB掃過(guò)的圖形是以PE和PB為半徑的兩圓形成的圓環(huán)，
∵S_△APB=4-×1×2-×1×2-×1×1=，
S_△APB=×PE×AB=××PE，
解得：PE=，BP=，
故線(xiàn)段AB掃過(guò)的面積=π（PB²-PE²）=π（）²-π（）²=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，得出邊AB掃過(guò)的圖形是圓環(huán)是解題關(guān)鍵．