Question

如圖，已知直線y=

4

3

x+4與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)B點(diǎn)時(shí)C、D都停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，直線EF⊥CD交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)E′與E點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，AC=

2

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（-

12

5

，

4

5

）

；
（2）設(shè)四邊形BDCO的面積為S，當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)直線EF與△AOB的一邊垂直時(shí)，求t的值；
（4）當(dāng)△EFE′為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作DH⊥AC于H，求出A、B的坐標(biāo)，求出AB，求出AH，DH，即可求出答案．
（2）求出AH、DH，根據(jù)三角形面積公式分別求出△ABO和△ADC面積，即可得出答案．
（3）分為兩種情況：①EF⊥OB，

AC

AD

=cos∠BAO，代入求出即可；②EF⊥AB，C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，求出即可．
（4）①當(dāng)0＜t＜

15

8

，且且重疊部分為等腰梯形PEQM時(shí)，過(guò)D作DH⊥AC于H，則△DHC是等腰直角三角形，根據(jù)DH=HC，代入得出

4

5

t=3-t-

3

5

t即可；②當(dāng)

15

8

＜t＜5，且重疊部分為等腰梯形EHNK時(shí)，連接DHDH，求出DH=

4

5

t，CH=t-（3-

3

5

t），得出方程，求出即可．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)D作DH⊥AC于H，
∵直線y=

4

3

x+4與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A，A、B，
∴A（（-3，0），B（0，4），
∴AO=3，BO=4，
∴AB=

AO2+BO2

=

32+42

=5，
當(dāng)0≤t≤3時(shí)，如圖1，
∵CO=t，AD=t，
∴AC=3-t，DH=AD•sin∠BAO=

4

5

t，AH=ADcos∠BAO=

3

5

t，
當(dāng)t=1時(shí)，AC=3-1=2，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

12

5

，

4

5

）；

（2）∵AO=3，BO=4，AB=5
∴sin∠BAO=

BO

AB

=

4

5

，cos∠BAO=

AO

AB

=

3

5

過(guò)D作DH⊥AC于H，
當(dāng)0≤tt≤3時(shí)，如圖1，
∵CO=t，AD=t，
∴AC=3-t，DH=AD•sin∠BAO=

4

5

t，
∴S=S_△ABO-S_△ADC=

1

2

×3×4-

1

2

•（3-t）•

4

5

t，
S=

2

5

t²-

6

5

t+6（0＜t＜3）．

（3）如圖2，當(dāng)EF⊥BO時(shí)，

∵EF⊥CD，
∴CD∥BO，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ADC中，

AC

AD

=cos∠BAO，
∴

3-t

t

=

3

5

，
t=

15

8

，
當(dāng)EF⊥AB時(shí)，如圖3，

∵EF⊥CD，
∴直線CD和直線AB重合，
∴C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，
∴t=3．

（4）①如圖4，

當(dāng)0＜t＜

15

8

，且且重疊部分為等腰梯形PEQM時(shí)，
則∠PEQ=∠MQE，
∵菱形CDMN，
∴CD∥MN，
∴∠MQE=∠CEQ，
∵EF⊥CD，
即∠CEF=90°，
∴∠CEQ=45°，
∴∠ACD=∠CEQ=45°，
過(guò)D作DH⊥AC于H，則△DHC是等腰直角三角形，
∴DH=HC，
∴

4

5

t=3-t-

3

5

t，
∴t=

5

4

；
②如圖5，

當(dāng)

15

8

＜t＜5，且重疊部分為等腰梯形EHNK時(shí)，
同理可得∠CHE=45°，
連接DHDH，
∵EF垂直平分CD，
∴CH=DH，∠DHE=∠CHE=45°，
∴∠DHC=90°，
∴DH=

4

5

t，
而CH=CO-HO=CO-（AO-AH）=t-（3-

3

5

t），
∴t-（3-

3

5

t）=

4

5

t，
∴t=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元一次方程，一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較好，但是難度偏大．