Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，點(diǎn)P與點(diǎn)Q是平行四邊形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A→點(diǎn)B→點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△CPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時(shí)，將△CPQ以它的一邊為軸翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，根據(jù)三角形面積公式求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)，由三角形面積公式求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，
（2）要使翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形，則△CPQ為等腰三角形，則要CQ=CP，看看t是否存在．

解答：解：（1）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
∴∠BCE=∠D=60°，∠CBE=30°，
∴CE=

1

2

BC=4，由勾股定理得：BE=4

3

，
∴CP=t，S=

1

2

CP•BE=

1

2

×4

3

t=2

3

t；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，CQ=8-（2t-4）=12-2t，
∵∠DCF=∠B=60°，∠F=90°，
∴∠CPF=30°，
∴CF=

1

2

CP=

1

2

t，由勾股定理得：PF=

3

2

t，
S=

1

2

CQ×PF=

1

2

×（12-2t）×

3

2

t，
即S=-

3

2

t²+3

3

t．

（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴當(dāng)t=4時(shí)，△CPQ為等腰三角形，
即為△CPQ的一邊所在直線(xiàn)為軸翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題，解答本題多次運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)，用含t的式子表示出有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．