Question

如圖，△ABC中，AB=AC，過BC上一點D作BC的垂線，交BA延長線與P，交AC于Q．
（1）判斷△APQ的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若∠B=60°，AB=AC=2，設(shè)CD=x，四邊形ABDQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：充分利用條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明是等腰三角形，并利用直角三角形和正三角形的特點來確定三角形的邊長與面積．

解答：解：（1）△APQ為等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵P為BA延長線上一點，PD⊥BD交AC與Q點，
∴∠BDQ=∠BDP=90°．
∵∠QCD+∠DQC=90°，∠B+∠P=90°，∠ABC=∠ACB，
∴∠P=∠DQC，又∠AQP=∠DQC，
∴∠P=∠AQP，
∴AP=AQ，
∴△APQ為等腰三角形；

（2）∵∠B=60°，AB=AC=2，
∴△ABC為正三角形．
∵PD⊥BC，∠C=60°，
∴∠CQD=30°．
∴CQ=2DC=2x，
根據(jù)勾股定理 DQ=

(2x)2-x2

=

3

x，
y=

1

2

×2×2sin60°-

1

2

x•

3

x=

3

-

3

2

x²（0＜x＜1），即y=

3

-

3

2

x²（0＜x＜1）．

點評：本題考查了等腰三角形的判定和綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理能力和運算能力．