Question

已知D是△ABC的邊上一點(diǎn)，AD：DC=2：1，∠C=45°，∠ADB=60°，求證：AB是△BCD的外接圓的切線．

Answer 1

證明：如圖，⊙O為△BCD的外接圓．
過B作BE⊥AD，E為垂足，不妨設(shè)AD=2，CD=1，設(shè)ED=x，
∵∠C=45°，
∴BE=x+1，
∵∠ADB=60°，
∴BE=DE=x，即x=x+1，
∴x=，
則BE=，AE=AD-ED=2-x=，
在RT△AEB中，AB²=BE²+AE²=（）²+（）²=6，
而AD•AC=2×3=6
∴AB²=AD•AC，而∠A公共，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
過B作直徑BF，則∠ADF=90°，
連DF，則∠F=∠ACB=45°，
∴∠DBF=45°，
∴∠ABF=90°，
∴AB是⊙O的切線
即AB是△BCD的外接圓的切線．
分析：如圖，過B作BE⊥AD，E為垂足，不妨設(shè)AD=2，CD=1，設(shè)ED=x，由∠C=45°，∠ADB=60°，可得到x=x+1，求出x，利用勾股定理可求出AB=6，因此得到AB²=AD•AC，△ABD∽△ACB，∠ABD=∠ACB=45°，再證明∠ABF=90°，過B作直徑BF即可得到．
點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的判定方法．若直線與圓有唯一的公共點(diǎn)，則此直線是圓的切線；若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則此直線是圓的切線；經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點(diǎn)，證明這個連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒告訴直線過圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．